Caractérisation

Théorème 4 (Caractérisation : divergence nulle)   Soit $X_{{\mathrm{div\,}}}$ le tenseur défini en (2). Alors la solution $\sigma_{m,{\mathrm{div\,}}}$ du problème $\left(PS\right)_{m,{\mathrm{div\,}}}$ est de la forme

$$\sigma_{m,{\mathrm{div\,}}}=X_{\mathrm{div\,}}\star \Phi+p$$

où $\Phi$ est une mesure orthogonale à ${\mathrm{rot\,}}{\rm I\!P}_{m}\left({\rm I\!R}^3;{\rm I\!R}^3\right)$, de la forme $$\Phi=\sum_{i=1}^N a_i \delta_{t_i}$$ (les N $\left(a_i\right)_{i=1}^N$ sont des éléments de ${\rm I\!R}^3$) et $p\in {\mathrm{rot\,}}{\rm I\!P}_{m}\left({\rm I\!R}^3;{\rm I\!R}^3\right)$. Les contraintes d'interpolation $v_{\mathrm{div\,}}\left(\sigma_{m,{\mathrm{div\,}}}\right)=z$ et les conditions d'orthogonalité définissent de façon unique le polynôme p et le vecteur a.

Remarque. Contrairement au cas de la spline $\sigma_{m,\rho}$, il est à remarquer que l'on n'a plus une orthogonalité suivant chaque composante mais une orthogonalité `` globale '' (orthogonalité à ${\mathrm{rot\,}}{\rm I\!P}_{m}\left({\rm I\!R}^3;{\rm I\!R}^3\right)$ et non plus à ${\rm I\!P}_{m-1}\left({\rm I\!R}^3;{\rm I\!R}^3\right)$).

Théorème 5 (Caractérisation : rotationnel nul)   Soit $X_{{\mathrm{rot\,}}}$ le tenseur défini en (1). Alors, la solution $\sigma_{m,{\mathrm{rot\,}}}$ du problème $\left(PS\right)_{m,{\mathrm{rot\,}}}$ est de la forme

$$\sigma_{m,{\mathrm{rot\,}}}=X_{\mathrm{rot\,}}\star \Phi+p$$

où $\Phi$ est une mesure orthogonale à $\nabla {\rm I\!P}_{m}\left({\rm I\!R}^3\right)$, de la forme $$\Phi=\sum_{i=1}^N a_i \delta_{t_i}$$ (les N $\left(a_i\right)_{i=1}^N$ sont des éléments de ${\rm I\!R}^3$) et $p\in \nabla {\rm I\!P}_{m}\left({\rm I\!R}^3\right)$. Les contraintes d'interpolation $v_{\mathrm{rot\,}}\left(\sigma_{m,{\mathrm{rot\,}}}\right)=z$ et les conditions d'orthogonalité définissent de façon unique le polynôme p et le vecteur a.